Lo simple y lo complejo

Estoy luchando de nuevo con el libro de Murray Gell-Mann titulado "El Quark y el Jaguar. Aventuras en lo simple y lo complejo" y al leer que uno de los correctores del manuscrito fue Benoit Mandelbrot, me he acordado de su famoso conjunto. Me gustaría volver atrás en el tiempo volver a descubrir esta maravillosa joya de las matemáticas. Vamos a ver si logro explicar de que va todo esto.

Tomemos un número complejo c. Recordad que el número complejo está formado por una parte real y una imaginaria, de la forma a+ib, donde a es la parte real, b es la parte imaginaria e i es la unidad imaginaria, resultado de aplicar la raíz cuadrada al número -1.
Como veréis, el campo de los números reales (los de toda la vida, vamos) se obtiene sin más que hacer b=0. Así pues el campo de los números complejos es una extensión del campo de los números reales. Con los números reales se puede por ejemplo, determinar la posición de un punto en una recta, una vez marcado el origen. Un punto puede estar a 2 metros del origen o a -1675 kilómetros del origen. Los números complejos se pueden representar también gráficamente pero para ello es necesario un plano, es decir, 2 dimensiones y no una sola. En uno de los ejes se representa la parte real a y en el otro la parte imaginaria b. Así pues un número complejo representa un punto en un plano. Se puede comprobar como haciendo b=0, obtenemos una recta, la recta de los números reales.

Pues bien, cojamos un número complejo c=(a+ib) y el número complejo z=(0+i0), el origen de coordenadas de nuestro sistema. Llamemos a la función resultado de sumar z al cuadrado y c f(z)=z²+c. En nuestro caso f(z)=(0+i0)²+(a+ib)=(a+ib). El resultado de esta operación lo volvemos a meter en la función como nuestro valor de z. Esto es a lo que se llama una función recursiva. Así ahora f(z)=z²+c será f(z)=(a+ib)²+(a+ib). Supongamos que el resultado es otro número complejo de la forma (c+id). Este resultado lo volvemos a introducir como nuestra z en la función f(z) de tal manera que f(z)=(c+id)²+(a+ib) y hacemos lo mismo muchas veces.

En este punto pueden ocurrir dos cosas: que el resultado de iterar muchas veces la misma función se acerque hacia el infinito (los puntos resultantes estén cada vez más lejos del origen) o que los diferentes resultados de las iteraciones estén acotados dentro de una región más o menos cercana al origen. Os pongo un ejemplo en forma de gráfica. En el eje vertical está la distancia al centro, en el eje vertical se representan las iteraciones. Para la gráfica roja, iteración tras iteración, la distancia al centro se mantiene por debajo de 2 , para la gráfica azul, que en un principio parecía comportarse "bien", llega un punto en el que se despendola viva y ya no hay quien la encauce por el buen camino

Pues bien, repitamos esto para cada número complejo y pintemos con un punto negro aquellos puntos que tomados inicialmente como nuestro número complejo c e iterados en la función f(z) se mantengan siempre dentro de una distancia acotada del origen (en nuestro ejemplo c=-0,1155989+i0,7639405 será negro) y pintemos de blanco aquellos números complejos c, que introducidos en la función f(z) repetidas veces, tienden a alejarse cada vez más del origen (en nuestro ejemplo c=-1,04039+i0,2509294 en se pintará en blanco.).

¿Qué esperamos encontrar?

Pues las dos posibles soluciones ya han sido nombradas, o que se mantenga acotado, o que se aleje del origen indefinidamente. La pregunta es más bien, ¿que apariencia tiene la frontera entre los números que hay que pintar de negro y los que hay que pintar de blanco?

No es fácil de describir, así que os pongo una imagen.

Aquí lo tienes, el maravilloso conjunto de Mandelbrot. Una gran complejidad a simple vista, pero de una sencillez aplastante.

Se toma un punto c, se itera en una función cuadrática de la forma f(z)=z²+c con z inicialmente 0, y se pinta de negro o blanco dependiendo de su divergencia.

En dos líneas hemos descrito algo que a simple vista parecía indescriptible. ¿Es el conjunto de Maldelbrot algo simple o por el contrario estamos tratando con algo extremadamente complejo?

Gracias a que en cualquier porción del plano, todo lo pequeña que se elija, se pueden representar infinitos números complejos, se puede uno adentrar a base de zooms en el maravilloso mundo del conjunto de Mandelbrot a la búsqueda de nuevos recovecos y nuevas sorpresas que sin duda nos asaltarán por el camino. Para hacer la cosa más llamativa, se puede representar con distintos colores la rapidez con la que el valor de la distancia al centro se agranda. El negro por otra parte se mantiene puro. He aquí una sucesión de zooms hecho sobre el conjunto de Mandelbrot. Estos en particular los he sacado de la wikipedia.

El conjunto de Mandelbrot con una paleta continua de colores

Zona situada entre la cabeza y el cuerpo del conjunto, también llamada el valle de los caballitos de mar

A la izquierda espirales dobles, a la derecha los caballitos de mar

Caballito de mar cabeza abajo

La cola del caballito de mar

Parte de las estructuras que forman la cola del caballito de mar

¿Qué es lo que hay en el centro?

Una de las propiedades del conjunto de Mandelbrot es que es autosimilar, es decir, que se pueden encontrar copias ligeramente distorsionadas a escalas arbitrariamente pequeñas en puntos de la frontera.
En este caso el centro de la imagen es el punto c=-0,743643135 + i0,131825963, la longitud de la imagen es de 0,000014628 (es decir que si el punto en la esquina inferior izquierda tiene de parte real x, la esquina inferior derecha tendrá de parte real x+0,000014628) y la amplificación con respecto a la imagen inicial es de 210350x


No creo que hay que poner ninguna canción para acompañar a este fenómeno de las matemáticas. El conjunto de Mandelbrot es, en sí mismo, música pura.

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Actualización. Ejemplo de cálculo

Tomemos el número complejo c = 1+i0 = 1 y z = 0.
Primera iteración f(z) = z²+c = 0²+c = 1+i0 = 1 . A este valor lo llamamos z y lo metemos de nuevo en la función.
Segunda iteración f(z) = 1²+1 = 2, o lo que es lo mismo 2+i0
Tercera iteración f(z) = 2²+1 = 5
Para el valor inicial c = 1+i0 las sucesivas iteraciones de la función f(z) dan cada vez un número más alejado del origen 1, 2, 5, 26,...... El punto 1+i0 lo pintaremos pues de blanco.

Tomemos ahora el número complejo c = -1+i0 = -1
Primera iteración f(z) = 0+c = -1+i0 = -1
Segunda iteración f(z) = (-1)²-1 = 0
Tercera iterción f(z) = 0²-1 = -1
Cuarta iteración f(z) = (-1)²-1 = 0
Vemos como el restultado permanece siempre acotado (en este caso el valor cambia entre 0 y -1) y el punto -1+i0 lo pintaremos de negro.

Copio aquí de nuevo la representación en blanco y negro del conjunto de Mandelbrot para que se vea que los puntos estudiados han sido pintados del color correspondiente.